2次のエルミート行列を対角化 with 具体的なパラメータ表示
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「任意のエルミート行列はユニタリ行列によって対角化可能で、得られた対角行列の成分がすべて実数となるようにすることができる」という話はよく知られている。とはいえ、せっかくなので具体的なパラメータ表示とかをいい感じに探してみると面白そうなので探す。
2次
$\begin{pmatrix}a & be^{i\theta}\\be^{-i\theta} & d\end{pmatrix}$ （ただし $a, \theta, d \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ ）を対角化する。特性方程式は $(a-\lambda)(d-\lambda) -b^2 = 0$ なのであって $\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-b^2) = 0$
ここで $(a+d)^2 - 4(ad-b^2) = (a-d)^2 + 4b^2$ なのであって常に非負。$0$になるのは $a=d, b=0$ のときのみであり、このとき元の行列は単位行列のスカラー倍。以下この場合は無視する。
$b=0$ のときは行列は既に対角化されている。よってこの場合についても無視する。
固有値は $\lambda_{\pm} = \frac{a+d\pm \sqrt{(a-d)^2 + 4b^2}}{2}$ であり、特に $\lambda_{+} + \lambda_{-} = a+d$、$\lambda_{+}\lambda_{-} = ad-b^2$となる。
$\begin{pmatrix}a & be^{i\theta}\\be^{-i\theta} & d\end{pmatrix}\vec{v_{+}} = \lambda_{+}\vec{v_{+}} $ から $\begin{pmatrix}a - \lambda_{+} & be^{i\theta}\\be^{-i\theta} & d - \lambda_{+}\end{pmatrix}\vec{v_{+}} = 0$
$\begin{pmatrix}a - \lambda_{+} & be^{i\theta}\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}be^{-i\theta} & d - \lambda_{+}\end{pmatrix}$ は線形従属（by construction）であり、また$b\ne 0$ゆえにゼロベクトルではない。
したがって $ \vec{v_{+}} = \begin{pmatrix}be^{i\theta} \\ \lambda_{+} - a\end{pmatrix}$ としてよい。同様に $ \vec{v_{-}} = \begin{pmatrix}be^{i\theta} \\ \lambda_{-} - a\end{pmatrix}$ である。
$ \vec{v_{\pm}} = \begin{pmatrix}be^{i\theta} \\ \frac{a+d\pm \sqrt{(a-d)^2 + 4b^2}}{2} - a\end{pmatrix}= b\begin{pmatrix}e^{i\theta} \\ \frac{-a+d\pm \sqrt{(a-d)^2 + 4b^2}}{2b} \end{pmatrix}= b\begin{pmatrix}e^{i\theta} \\ \frac{-a+d}{2b} \pm \sqrt{\left(\frac{a-d}{2b}\right)^2 + 1} \end{pmatrix}$
ここで $\phi := \mathrm{sin h}^{-1}\left(\frac{a-d}{2b}\right)$ と置けば $ \vec{v_{\pm}} = b\begin{pmatrix}e^{i\theta} \\ -\mathrm{sin h}\phi \pm \mathrm{cos h}\phi \end{pmatrix}$, $\lambda_{\pm} = \frac{a+d}{2} \pm\mathrm{cos h}\phi$
$ \vec{v_{-}} = b\begin{pmatrix}e^{i\theta} \\ -e^{\phi} \end{pmatrix}$ であり $ \vec{v_{+}} = b\begin{pmatrix}e^{i\theta} \\ e^{-\phi} \end{pmatrix}$
スカラー倍して $ \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{cos h}\phi}}\begin{pmatrix}e^{-\phi/2+i\theta/2} \\ -e^{\phi/2-i\theta/2} \end{pmatrix}$ と $\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{cos h}\phi}}\begin{pmatrix}e^{\phi/2 + i\theta/2} \\ e^{-\phi/2-i\theta/2} \end{pmatrix}$ にすればユニタリ行列の基底
まとめると、$a, \theta, d \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}_{> 0}$ のとき
$\begin{pmatrix}a & be^{i\theta}\\be^{-i\theta} & d\end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}\frac{a+d}{2b} + \frac{a-d}{2b} & e^{i\theta}\\e^{-i\theta} & \frac{a+d}{2b} - \frac{a-d}{2b}\end{pmatrix} $
$u := \frac{a+d}{2b}$ や $\phi := \mathrm{sin h}^{-1}\left(\frac{a-d}{2b}\right)$ とすれば
$= b\begin{pmatrix}u + \mathrm{sin h}\phi & e^{i\theta}\\e^{-i\theta} & u- \mathrm{sin h}\phi\end{pmatrix} $
の固有値・固有ベクトルは
$(\lambda_1, \vec{v_1}) = \left( bu-b\mathrm{cos h}\phi , \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{cos h}\phi}}\begin{pmatrix}e^{-\phi/2+i\theta/2} \\ -e^{\phi/2-i\theta/2} \end{pmatrix} \right)$
$(\lambda_2, \vec{v_2}) =\left( bu+b\mathrm{cos h}\phi , \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{cos h}\phi}}\begin{pmatrix}e^{\phi/2+i\theta/2} \\ e^{-\phi/2-i\theta/2} \end{pmatrix}\right)$
と書くことができ、$\begin{pmatrix}\vec{v_1} & \vec{v_2} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{cos h}\phi}}\begin{pmatrix}e^{-\phi/2+i\theta/2} & e^{\phi/2+i\theta/2} \\ -e^{\phi/2-i\theta/2} & e^{-\phi/2-i\theta/2} \end{pmatrix}$ はユニタリ行列である。
ちなみに
今回の記事も私がdraft.hyuki.netに書いた下書きをほぼそのままHatena Blogに持ってきたものです。前回の記事↓の一般化です。
あ、あとtypoなどありましたらTwitter(@hsjoihs)辺りに投げていただけるとありがたいです
書いた経緯
はこつきさん(@re_hako_moon)と話していたら生えた
