2次の実対称行列を対角化 with 具体的なパラメータ表示

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「任意の実対称行列は直交行列によって対角化可能である」という話はよく知られている。とはいえ、せっかくなので具体的なパラメータ表示とかをいい感じに探してみると面白そうなので探す。今回は2次で。

$\begin{pmatrix}a & b\\b & d\end{pmatrix}$ （ただし $a, b, d \in \mathbb{R}$ ）を対角化する。特性方程式は $(a-\lambda)(d-\lambda) -b^2 = 0$ なのであって $\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-b^2) = 0$

ここで $(a+d)^2 - 4(ad-b^2) = (a-d)^2 + 4b^2$ なのであって常に非負。$0$になるのは $a=d, b=0$ のときのみであり、このとき元の行列は単位行列のスカラー倍。以下この場合は無視する。

$b=0$ のときは行列は既に対角化されている。よってこの場合についても無視する。

固有値は $\lambda_{\pm} = \frac{a+d\pm \sqrt{(a-d)^2 + 4b^2}}{2}$ であり、特に $\lambda_{+} + \lambda_{-} = a+d$、$\lambda_{+}\lambda_{-} = ad-b^2$となる。

$\begin{pmatrix}a & b\\b & d\end{pmatrix}\vec{v_{+}} = \lambda_{+}\vec{v_{+}} $ から $\begin{pmatrix}a - \lambda_{+} & b\\b & d - \lambda_{+}\end{pmatrix}\vec{v_{+}} = 0$

$\begin{pmatrix}a - \lambda_{+} & b\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}b & d - \lambda_{+}\end{pmatrix}$ は線形従属（by construction）であり、また$b\ne 0$ゆえにゼロベクトルではない。
したがって $ \vec{v_{+}} = \begin{pmatrix}b \\ \lambda_{+} - a\end{pmatrix}$ としてよい。同様に $ \vec{v_{-}} = \begin{pmatrix}b \\ \lambda_{-} - a\end{pmatrix}$ である。

$ \vec{v_{+}} \cdot \vec{v_{-}} = b^2 + \lambda_{+}\lambda_{-} -a(\lambda_{+} + \lambda_{-}) + a^2 $ $= b^2 + (ad-b^2) -a(a+d)+a^2 = 0$
よってこれら2つは直交する。ということで、これらを座標軸としながら $\vec{v_1} \times \vec{v_2} > 0$ となるような選び方をしたい。

$\vec{v_{+}} \times \vec{v_{-}} = b(\lambda_{-}-a)-b(\lambda_{+}-a) = -b(\lambda_{+} - \lambda_{-})$

よって、$b>0$ のときには $\vec{v_1}$ として $\vec{v_{-}}$ を、$b<0$ のときには $\vec{v_1}$ として $\vec{v_{+}}$ を選べばよい。

ということで $ \vec{v_1} = \begin{pmatrix}b \\ \frac{a+d - \frac{b}{|b|} \sqrt{(a-d)^2 + 4b^2}}{2} - a\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b \\ \frac{-a+d}{2} - b \sqrt{\left(\frac{a-d}{2b}\right)^2 + 1} \end{pmatrix}$

同様に $ \vec{v_2} = \begin{pmatrix}b \\ \frac{-a+d}{2} + b \sqrt{\left(\frac{a-d}{2b}\right)^2 + 1} \end{pmatrix}$

ここで $\phi = \mathrm{sin h} ^ {-1} \left(\frac{a-d}{2b}\right) $ と置けば

$ \vec{v_1} = \begin{pmatrix}b \\ -b\mathrm{sin h}\phi - b \sqrt{\mathrm{sin h}^2 \phi + 1} \end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}1 \\ -\mathrm{sin h}\phi - \mathrm{cos h} \phi \end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}1 \\ -e^{\phi} \end{pmatrix}$

この第二成分に$a$を足したものが$\lambda_1$であるので
$\lambda_{1} = a - be^\phi = \frac{a+d}{2} + \frac{a-d}{2b}b - be^\phi = \frac{a+d}{2} + b\mathrm{sin h} \phi - be^\phi = \frac{a+d}{2} -b\mathrm{cos h} \phi $

$ \vec{v_2} = \begin{pmatrix}b \\ -b\mathrm{sin h}\phi + b \sqrt{\mathrm{sin h}^2 \phi + 1} \end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}1 \\ -\mathrm{sin h}\phi + \mathrm{cos h} \phi \end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}1 \\ e^{-\phi} \end{pmatrix}$

この第二成分に$a$を足したものが$\lambda_2$であるので
$\lambda_{2} = a + be^{-\phi} = \frac{a+d}{2} + \frac{a-d}{2b}b + be^{-\phi} = \frac{a+d}{2} +b\mathrm{sin h}\phi + be^{-\phi} = \frac{a+d}{2} + b\mathrm{cos h}\phi $

ということで、$ \vec{v_1} $ と $ \vec{v_2}$ の定数倍である $\begin{pmatrix}e^{-\phi/2} \\ -e^{\phi/2} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}e^{\phi/2} \\ e^{-\phi/2} \end{pmatrix}$ で扱うとよさそう。

まとめると、$a, b, d \in \mathbb{R}$ で $b\ne 0$ のとき
$\begin{pmatrix}a & b\\b & d\end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}\frac{a+d}{2b} + \frac{a-d}{2b} & 1\\1 & \frac{a+d}{2b} - \frac{a-d}{2b}\end{pmatrix} $
$u := \frac{a+d}{2b}$ や $\phi := \mathrm{sin h}^{-1}\left(\frac{a-d}{2b}\right)$ とすれば
$= b\begin{pmatrix}u + \mathrm{sin h}\phi & 1\\1 & u- \mathrm{sin h}\phi\end{pmatrix} $
の固有値・固有ベクトルは
$(\lambda_1, \vec{v_1}) = \left( bu-b\mathrm{cos h}\phi , \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{cos h}\phi}}\begin{pmatrix}e^{-\phi/2} \\ -e^{\phi/2} \end{pmatrix} \right)$
$(\lambda_2, \vec{v_2}) =\left( bu+b\mathrm{cos h}\phi , \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{cos h}\phi}}\begin{pmatrix}e^{\phi/2} \\ e^{-\phi/2} \end{pmatrix}\right)$

と書くことができ、$\begin{pmatrix}\vec{v_1} & \vec{v_2} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{cos h}\phi}}\begin{pmatrix}e^{-\phi/2} & e^{\phi/2} \\ -e^{\phi/2} & e^{-\phi/2} \end{pmatrix}$ は回転行列である。