ピタゴラスで √n な螺旋
概要
皆さんは、以下のような図形を見たことがあるだろうか。私はある。
如何なる機会にこれを見たのかはもはや定かではないが、たしか作図可能数の議論をする際に「自然数の平方根についてはこのように作図することができる」という例示としてなんらかの本で出てきていた気がする。直角を作図できるので直角三角形が作図でき、一辺の長さが1となるような直角三角形を積み重ねれば√nが作図できるということである。
この図のことは長らく忘れていたが、スーパーマリオ64 RTA/TAS用のWikiを今日なにげなく読んでいたところ、
この図のことを思い出した。ということで、ちょっとこいつについて考えてみる。
挙動
まず $f\left(k\right)=\sum_{n=1}^{k}\mathrm{a r ctan}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ を定義してやることにより、各頂点は極座標上で $(r, \theta) = (\sqrt{N}, f\left(N-1\right))$ と書ける（$N=0$とすると原点もカバーされていてくれたりする）。ということで $f(k)$ を調べてやることで挙動がわかる。
とりあえず雑に見積もる。$\sum_{n=1}^{k}\mathrm{a r ctan}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ というのはだいたい$\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{\sqrt{n}}$ である。こいつはだいたい $\int_{1}^{k}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ であり、つまり $2\sqrt{k}$ ぐらいの速度で成長しそうだ。つまり $N$ が大きいときには $(r, \theta) \approx (\sqrt{N}, 2\sqrt{N})$ みたいな感じであり、$r = \frac{\theta}{2}$ なアルキメデス螺旋に似た振る舞いをしてくれそうである。
詳しい挙動
$f(k)$ はだいたい $2\sqrt{k}$ であることがわかった。さて $\lim_{k \to \infty} \left(f(k) - 2\sqrt{k} \right)$ って存在するんだろうか。desmosで実験してみた限りでは、しそう。ということで計算したい。
えー arctan をテイラー展開してやる。ただし $f(k)$ の初項は展開したやつが絶対収束ではないので、それだけ除外してやると、
$$f\left(N\right)=\sum_{n=1}^{N}\mathrm{a r ctan}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=2}^{N}\mathrm{a r ctan}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=2}^{N}\sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{1 + 2 l}}{1 + 2 l}$$
総和を入れ替えたやつは
$$ \frac{\pi}{4} +\sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l}{1 + 2 l} \sum_{n=2}^{N}n^{-l - 1/2}$$
ここで $l > 0$ の場合は $\sum_{n=2}^{N}n^{-l - 1/2}$ というのは $N \to \infty$ で $\zeta\left(l + \frac{1}{2}\right) - 1$ に収束する。$l = 0$ のときのはなんか Lampret, V. An accurate approximation of zeta-generalized-Euler-constant functions. centr.eur.j.math. 8, 488–499 (2010). https://doi.org/10.2478/s11533-010-0030-7 で the zeta-generalized-Euler-constant function という名前で呼ばれ、https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Euler%E2%80%93Mascheroni_constant&oldid=997546999 で Euler's generalized constantsと呼ばれている以下のやつ：
$$\gamma(s) = \lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k^s} - \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x^s}\right)\right]$$
が使えそうである。結局 $\frac{\pi}{4}$ をバラさないと綺麗にならないので、絶対収束性を忘れて $\frac{\pi}{4}$ を解体することで、
$$f\left(N\right) - \int_{1}^{N+1} \frac{1}{\sqrt{x}}dx \to \gamma\left(\frac{1}{2}\right) + \sum_{l=1}^\infty \frac{(-1)^l}{1 + 2 l} \zeta\left(l + \frac{1}{2}\right) $$
$$f\left(N\right) - (2\sqrt{N+1}-2) \to \gamma\left(\frac{1}{2}\right) + \sum_{l=1}^\infty \frac{(-1)^l}{1 + 2 l} \zeta\left(l + \frac{1}{2}\right) $$
$$f\left(N\right) - 2\sqrt{N} \to -2 + \gamma\left(\frac{1}{2}\right) + \sum_{l=1}^\infty \frac{(-1)^l}{1 + 2 l} \zeta\left(l + \frac{1}{2}\right) $$
な気になれる。
うーん、なんも綺麗にならん！ｗ
